지수함수 그래프 그리는 법 평행이동과 점근선 정리

지수함수 그래프가 어려운 이유는 변형(평행이동)을 어디에 적용해야 하는지 헷갈리기 때문이에요. 단계별로 쉽게 정리해드릴게요.

기본형 y=a^x 개형 잡기

모든 지수함수 그래프의 출발점은 기본형 y=a^x예요.

a>1이면 증가함수예요. 오른쪽으로 갈수록 급격히 올라가는 모양이에요. y=2^x, y=3^x가 대표적이에요.

0<a<1이면 감소함수예요. 오른쪽으로 갈수록 내려가는 모양이에요. y=(1/2)^x, y=(1/3)^x가 대표적이에요.

어떤 경우든 기본형은 반드시 점 (0,1)을 지나요. x=0을 대입하면 a^0=1이니까요.

점근선 표시하기

기본형 y=a^x의 점근선은 y=0, 즉 x축이에요.

점근선이란 그래프가 한없이 가까이 가지만 절대 닿지 않는 선이에요. x가 마이너스 무한대로 갈 때(a>1인 경우) 그래프는 x축에 한없이 가까워지지만 y=0에 닿지는 않아요.

점근선은 점선으로 표시해요. 시험에서 점근선을 빠뜨리면 감점되는 경우가 많으니 꼭 그려주세요.

대표점 찍기

x=-2, -1, 0, 1, 2 정도에서 y값을 계산해서 점을 찍어요.

y=3^x를 예로 들면, x=-2일 때 y=1/9, x=-1일 때 y=1/3, x=0일 때 y=1, x=1일 때 y=3, x=2일 때 y=9예요.

이 점들을 부드러운 곡선으로 연결하면 기본형 그래프가 완성돼요.

평행이동 적용하기

변형된 지수함수는 기본형을 평행이동한 거예요. 이 부분이 가장 헷갈리는 포인트예요.

y=a^(x-p)+q 형태일 때, x방향으로 p만큼, y방향으로 q만큼 이동해요.

y=3^(x+1)의 경우를 볼게요. 이것은 y=3^(x-(-1))이니까 x방향으로 -1만큼 이동하는 거예요. 기본형의 모든 점이 왼쪽으로 1칸 이동해요. 원래 (0,1)이었던 점이 (-1,1)로 바뀌어요. 점근선은 y방향 이동이 없으니 여전히 y=0이에요.

y=3^x+2의 경우는 y방향으로 +2만큼 이동하는 거예요. 모든 점이 위로 2칸 올라가요. (0,1)이 (0,3)이 되고, 점근선도 y=0에서 y=2로 올라가요.

y=3^(x-1)+2의 경우는 오른쪽으로 1칸, 위로 2칸 이동해요. (0,1)이 (1,3)이 되고, 점근선은 y=2예요.

평행이동 쉽게 기억하는 법

x 옆의 숫자는 부호 반대로 이동해요. x+1이면 왼쪽(-1), x-3이면 오른쪽(+3)으로 이동해요.

y 옆에 더하는 숫자는 부호 그대로 이동해요. +2면 위로 2, -1이면 아래로 1이에요.

점근선은 y방향 이동만 따라가요. x방향으로 아무리 이동해도 점근선의 위치(y값)는 변하지 않아요. y=a^(x-p)+q에서 점근선은 항상 y=q예요.

그래프 그리기 순서 정리

1단계: 기본형(a>1 증가? 0<a<1 감소?) 확인해요.
2단계: 점근선을 점선으로 그려요.
3단계: 대표점(특히 기본형의 (0,1)이 어디로 이동했는지)을 찍어요.
4단계: 점들을 부드러운 곡선으로 연결해요.
5단계: 점근선에 가까워지지만 닿지 않게 그려요.

이 순서만 따르면 어떤 변형이든 정확하게 그릴 수 있어요.